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In den Wirtschaftswissenschaften liegen die für Bewertungen benötigten Daten normalerweise als Jahreswerte vor, z.B. Zinssätze oder Sterblichkeiten in der Finanz- und Versicherungsmathematik. Darauf aufbauend lassen sich Markov-Ketten mit einem jährlichen Zeitraster konstruieren. Zu bewertende Zahlungen hingegen erfolgen meist unterjährlich. Der vorliegende Artikel beschäftigt sich mit der Frage, wie aus einer Markov-Kette mit jährlichem Zeitraster, eine Markov-Kette mit unterjährlichem Zeitraster konstruiert werden kann. Dabei stehen Markov-Ketten, deren Übergangsmatrizen als obere Dreiecks-matrizen gegeben sind, im Mittelpunkt des Interesses. Es werden zwei Ansätze und deren Anwendung dargestellt. Der erste Ansatz basiert auf der T-ten Wurzel der Übergangsmatrizen, der zweite Ansatz auf einer Linearisierung der Übergangsmatrizen.
Eine wichtige Fragestellung in den Wirtschaftswissenschaften ist die Bewertung von Zahlungsströmen mit dem Barwert. Sind diese Zahlungsströme mit Risiken behaftet, so kann der Barwert als Zufallsvariable interpretiert werden. In der vorliegenden Arbeit wird der risikobehaftete Zahlungsstrom als bewertete inhomogene Markov-Kette modelliert. Als Hauptergebnis wird eine Formel für die charakteristische Funktion bzw. die momentenerzeugende Funktion der Zufallsvariablen „Barwert“ hergeleitet. Damit ist die Verteilung der Zufallsvariablen eindeutig festgelegt. In konkreten Fallbeispielen wird gezeigt, wie man mit einer EDV-technischen Umsetzung der Formel den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung der Zufallsvariablen „Barwert“ ermitteln kann.
In der vorliegenden Arbeit wird ausgehend von einer jährlichen inhomogenen Markov-Kette durch lineare Interpolation der Übergangsmatrizen und der Einheitsmatrix sowohl eine unterjährliches als auch ein zeitstetige bewertete inhomogene Markov-Kette konstruiert. Beim unterjährlichen Modell liegt der Fokus auf der Verteilung der Zufallsvariablen „Barwert des Zahlungsstroms“ bzw. auf der zugehörigen charakteristischen Funktion und einem EDV-technischen Verfahren zur Berechnung der Momente der Zufallsvariablen. Beim zeitstetigen Modell steht neben der Konstruktion und den üblichen Ergebnissen für zeitstetige Markov-Ketten, die Verallgemeinerung des Restglieds bzw. des Invarianzsatzes im Mittelpunkt des Interesses.
Zahlungsströme werden vielfach mit dem Barwert, d.h. der Summe der abgezinsten Zahlungen, bewertet. Handelt es sich dabei um Zahlungen, die nicht sicher, d.h. risikobehaftet sind, so gehen neben dem Zinssatz i.d.R. auch Wahrscheinlichkeiten in die Bewertung ein. Sowohl der Zinssatz als auch die Wahrscheinlichkeiten liegen dabei normalerweise als Jahreswerte vor, die Zahlungen hingegen erfolgen meist unterjährlich. In der vorliegenden Arbeit wird für diesen unterjährlichen Fall ein auf der Theorie der Markov-Ketten basierendes Modell zur Barwertberechnung behandelt. Die unterjährlichen Wahrscheinlichkeiten ergeben sich dabei durch Linearisierung der Jahreswerte, als unterjährliches Zinsmodell wird die gemischte Verzinsung – alternativ mit dem relativen Zinssatz und dem konformen Zinssatz – betrachtet.
Die betriebliche Altersversorgung ist neben der gesetzlichen und der privaten Altersvorsorge eine der drei Säulen der Alterssicherung in Deutschland. Ende 2012 beliefen sich die Deckungsmittel der betrieblichen Altersversorgung in Deutschland auf 500,7 Milliarden Euro. Im Zeitraum 2009 bis 2011 hatten ca. 60% aller sozialversicherungspflichtigen Arbeitnehmer eine Anwartschaft auf betriebliche Altersversorgung. Mit Pensionsplänen sind aus Sicht der Unternehmen Risiken verbunden, die es zu erkennen, zu bewerten und zu steuern gilt. Wie ist der aktuelle Stand des Risikomanagements in der betrieblichen Altersversorgung in Deutschland? Dieser Frage ging das 4. FaRis & DAV-Symposium anhand ausgewählter Aspekte nach. Die Vorträge des Symposiums sind in diesem Konferenzband zusammengefasst.
Eine wichtige Fragestellung in den Wirtschaftswissenschaften ist die Bewertung von Zahlungsströmen mit dem Barwert. Dabei liegt jeder Barwertberechnung ein geeignetes Zinsmodell zugrunde. Bei einem speziellen Zinsmodell – der relativ gemischten Verzinsung – lassen sich einfache nichttriviale Beispiele/Zahlungsströme konstruieren, bei denen der Barwert bei jedem Zinssatz null ist. In der vorliegenden Arbeit wird die Frage untersucht, ob es bei anderen Zinsmodellen ebenfalls solche Zahlungsströme gibt. Im Hauptsatz kann die Beantwortung dieser Frage mit Mitteln der Analysis auf die Existenz von Lösungen eines homogenen linearen Gleichungssystems zurückgeführt werden.
Zahlungsströme werden vielfach mit dem Barwert, d.h. der Summe der abgezinsten Zahlungen, bewertet. Handelt es sich dabei um Zahlungen, die nicht sicher, d.h. risikobehaftet sind, so gehen neben dem Zinssatz i.d.R. auch Wahrscheinlichkeiten in die Bewertung ein. Viele der dabei verwendeten Modelle sind gedächtnislos. In der vorliegenden Arbeit wird für diese Fälle ein Modell, das auf der Theorie der Markov- Ketten basiert, eingeführt. Aus dieser Modellierung ergibt sich u.a. eine grundlegende Bewertungsformel. In drei unterschiedlichen ökonomischen Beispielen wird gezeigt, dass die Anwendung dieser Bewertungsformel zu den Standardbewertungsansätzen führt. Das primäre Ziel der Arbeit ist dabei nicht die Darstellung neuer Ergebnisse, sondern die grundlegende Aufbereitung der Thematik. Dabei soll die Ausarbeitung eine Basis für weitere Anwendungen schaffen und als Grundlagen für eine EDVtechnische Umsetzung dienen.
Economic Scenario Generators (ESGs) sind zu einem unverzichtbaren Instrument für das Risikomanagement von Versicherungsunternehmen geworden. Auf Grund der Langfristigkeit ihres Geschäftsmodells nutzen insbesondere Lebensversicherer ESGs zur wertorientierten Steuerung. Mit Einführung von Solvency II zum 1.1.2016 werden ESGs verstärkt auch bei der Berechnung des erforderlichen Solvenzkapitals eingesetzt. Stochastische Modellierungen der Kapitalmärkte bilden die Grundlage jedes ESGs. Die Modellannahmen und erst recht die Kalibrierung der Modelle bedingen einen sehr großen Gestaltungsspielraum beim Einsatz von ESGs. Das Symposium gibt Anstöße für die Beurteilung der Qualität eines ESGs. Ein weiterer Schwerpunkt des Symposiums ist das Thema "Liquiditäts(risiko-)management für Versicherer". Liquidität ist die Fähigkeit eines Unternehmens, seinen Zahlungsverpflichtungen jederzeit in vollem Umfang nachzukommen. Liquiditätsrisiken erwachsen bei einem Versicherungsunternehmen vor allem aus einer illiquiden Kapitalanlage, aber auch aus der Unsicherheit hinsichtlich des Zeitpunkts und der Höhe der versicherungstechnischen Verpflichtungen. Auf dem Symposium werden Methoden des Liquiditätsmanagements und Methoden der Steuerung des Liquiditätsrisikos vorgestellt und diskutiert.
In der vorliegenden Arbeit wird ausgehend von einer jährlichen inhomogenen Markov-Kette eine unterjährliche bewertete inhomogene Markov-Kette konstruiert. Die Konstruktion der unterjährlichen Übergangsmatrizen basiert auf der Taylorreihe der Potenzfunktion bzw. deren Partialsummen. Dieser Ansatz ist eine Verallgemeinerung des Falls, dass die unterjährlichen Übergangsmatrizen durch Interpolation der jährlichen Übergangsmatrizen und der Einheitsmatrix definiert werden. Anschließend liegt der Fokus der Arbeit auf der Verteilung der Zufallsvariablen „Barwert des Zahlungsstroms“ bzw. auf der zugehörigen charakteristischen Funktion, einem EDV-technischen Verfahren zur Berechnung der Momente der Zufallsvariablen und dessen Anwendung in zwei Fallbeispielen.
